Angles associés

Propriétés

Pour tout nombre réel  \(x\) , on a : 

Démonstrations

On considère le point  \(\text{M}\)  image d'un réel  \(x\) .

• Soit \(\text{M'}\) l'image de \(-x\) : les points  \(\text{M}\)  et  \(\text{M}'\)  sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Leurs abscisses sont identiques et leurs ordonnées sont opposées. Pour tout réel  \(x\) ,  \(\cos⁡(-x)=\cos(x) \text{ et } \sin(-x)=-\sin⁡(x)\) .
  
• Soit \(\text{M'}\) l'image de \(\pi-x\)  : les points   \(\text{M}\)  et  \(\text{M}'\)  sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Leurs ordonnées sont identiques et leurs abscisses sont opposées. Pour tout réel  \(x\) ,  \(\cos⁡(\pi-x)=-\cos(x) \text{ et } \sin(\pi-x)=\sin⁡(x)\) . 
  
• Soit \(\text{M'}\) l'image de \(\pi+x\)  : les points   \(\text{M}\)  et  \(\text{M}'\)  sont symétriques par rapport à l'origine du repère. Leurs abscisses et leurs ordonnées sont opposées entre elles. Pour tout réel  \(x\) ,  \(\cos⁡(\pi+x)=-\cos(x) \text{ et } \sin(\pi+x)=-\sin⁡(x)\) . 
  
• Soit \(\text{M'}\) l'image de \(\dfrac{\pi}{2}-x\)  : les points    \(\text{M}\)  et  \(\text{M}'\)  sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y=x\) . Leurs abscisses et leurs ordonnées sont échangées. Pour tout réel  \(x\) ,  \(\cos⁡(\dfrac{\pi}{2}-x)=\sin(x) \text{ et } \sin(\dfrac{\pi}{2}-x)=\cos⁡(x)\) . 
  
• Soit \(\text{M'}\) l'image de \(\dfrac{\pi}{2}+x\)  : pour tout réel  \(x\) ,   \(\cos⁡(\dfrac{\pi}{2}+x)=\cos⁡(\pi-(\dfrac{\pi}{2}-x))=-\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)=-\sin(x)\)  et 
  \(\sin⁡(\dfrac{\pi}{2}+x)=\sin⁡(\pi-(\dfrac{\pi}{2}-x))=\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)=\cos(x)\) .